Fizik mekanik

Vektor

Persamaan mekanik biasanya ditulis dalam bentuk koordinat Cartesian. Pada waktu tertentu t, kedudukan zarah dapat ditentukan dengan memberikan koordinatnya x (t), y (t), dan z (t) dalam kerangka rujukan Cartesian tertentu. Walau bagaimanapun, pemerhati zarah yang sama mungkin memilih sekumpulan paksi saling tegak lurus yang berorientasi berbeza, katakanlah, x ′, y ′, dan z ′. Pergerakan zarah kemudian dijelaskan oleh pemerhati pertama dari segi kadar perubahan x (t), y (t), dan z (t), sementara pemerhati kedua akan membincangkan kadar perubahan x ′ (t), y ′ (t), dan z ′ (t). Maksudnya, kedua-dua pemerhati melihat zarah yang sama melakukan gerakan yang sama dan mematuhi undang-undang yang sama, tetapi mereka menggambarkan keadaan dengan persamaan yang berbeza. Keadaan janggal ini dapat dielakkan dengan kaedah pembinaan matematik yang disebut vektor. Walaupun vektor secara matematik sederhana dan sangat berguna dalam membincangkan mekanik, mereka tidak dikembangkan dalam bentuk moden mereka sehingga akhir abad ke-19, ketika J. Willard Gibbs dan Oliver Heaviside (masing-masing dari Amerika Syarikat dan Britain) masing-masing menggunakan analisis vektor dalam untuk membantu mengekspresikan undang-undang elektromagnetisme baru yang dicadangkan oleh James Clerk Maxwell.

sains fizikal: Mekanik

Peperangan untuk Copernicanisme dilakukan dalam bidang mekanik dan juga astronomi. Sistem Ptolemaic – Aristotelian berdiri atau jatuh

Vektor adalah kuantiti yang mempunyai magnitud dan arah. Biasanya dilambangkan secara simbolik oleh anak panah ke arah yang tepat, yang panjangnya sebanding dengan besarnya vektor. Walaupun vektor mempunyai magnitud dan arah, ia tidak mempunyai kedudukan. Suatu vektor tidak diubah jika dipindahkan selari dengan dirinya sendiri selagi panjangnya tidak berubah.

Berbeza dengan vektor, kuantiti biasa yang mempunyai magnitud tetapi bukan arah dikenali sebagai skalar. Dalam karya bercetak vektor sering diwakili oleh huruf tebal seperti A atau X, dan skalar diwakili oleh huruf ringan, A atau X. Besarnya vektor, dilambangkan | A |, itu sendiri skalar — iaitu, | A | = A.

Oleh kerana vektor berbeza dari kuantiti biasa (iaitu, skalar), semua operasi matematik yang melibatkan vektor mesti ditentukan dengan teliti. Penambahan, pengurangan, tiga jenis pendaraban, dan pembezaan akan dibincangkan di sini. Tidak ada operasi matematik yang sesuai dengan pembahagian oleh vektor.

Jika vektor A ditambah kepada vektor B, hasilnya adalah vektor lain, C, yang ditulis A + B = C. Operasi dilakukan dengan menggeser B sehingga ia bermula di mana A berakhir, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1A. C adalah vektor yang bermula di mana A bermula dan berakhir di mana B berakhir.

Selain vektor adalah ditakrifkan sebagai mempunyai (nontrivial) harta A + B = B + A. Terdapat kuantiti yang mempunyai magnitud dan arah yang tidak mematuhi kehendak ini. Contohnya ialah putaran terhingga di angkasa. Dua putaran terhad badan mengenai paksi yang berbeza tidak semestinya menghasilkan orientasi yang sama jika dilakukan dalam urutan yang bertentangan.

Pengurangan vektor ditakrifkan oleh A - B = A + (- - B), di mana vektor - B mempunyai magnitud yang sama dengan B tetapi arah lawan. Idea ini digambarkan dalam Rajah 1B.

Vektor boleh dikalikan dengan skalar. Oleh itu, sebagai contoh, vektor 2 A mempunyai arah yang sama dengan A tetapi panjangnya dua kali ganda. Sekiranya skalar mempunyai dimensi, vektor yang dihasilkan masih mempunyai arah yang sama dengan yang asal, tetapi keduanya tidak dapat dibandingkan dengan ukuran besar. Sebagai contoh, zarah bergerak dengan halaju mal v mengalami anjakan s dalam masa t yang diberikan oleh s = v t. Vektor v telah dikalikan dengan skalar t untuk memberikan vektor baru, s, yang mempunyai arah yang sama dengan v tetapi tidak dapat dibandingkan dengan v dalam magnitud (anjakan satu meter tidak lebih besar atau lebih kecil daripada halaju satu meter sesaat). Ini adalah contoh khas fenomena yang mungkin diwakili oleh persamaan yang berbeza dalam sistem koordinat Cartesian yang berorientasi berbeza tetapi yang mempunyai persamaan vektor tunggal (untuk semua pemerhati tidak bergerak satu sama lain)

Produk titik (juga dikenali sebagai produk skalar, atau kadang-kadang produk dalaman) adalah operasi yang menggabungkan dua vektor untuk membentuk skalar. Operasi ini ditulis A · B. Sekiranya θ adalah sudut (lebih kecil) antara A dan B, maka hasil operasi adalah A · B = AB cos θ. Produk titik mengukur sejauh mana dua vektor selari. Mungkin dianggap mengalikan magnitud satu vektor (salah satu) dengan unjuran yang lain di atasnya, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1C. Sekiranya kedua-dua vektor itu berserenjang, produk titik adalah sifar.

Produk silang (juga dikenali sebagai produk vektor) menggabungkan dua vektor untuk membentuk vektor lain, berserenjang dengan satah vektor asal. Operasi ini ditulis A × B. Sekiranya θ adalah sudut (lebih kecil) antara A dan B, maka | A × B | = AB sin θ. Arah A × B diberikan oleh peraturan tangan kanan: jika jari tangan kanan dibuat untuk berputar dari A hingga θ ke B, ibu jari menunjuk ke arah A × B, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1D. Produk silang adalah sifar jika kedua-dua vektor itu selari, dan magnitud maksimumnya jika tegak lurus.

Derivatif, atau kadar perubahan, vektor didefinisikan dalam analogi sempurna dengan turunan skalar: jika vektor A berubah dengan waktu t, maka

Sebelum mencapai had di sebelah kanan persamaan (1), operasi yang dijelaskan adalah pengurangan vektor [A (t + Δt) - A (t)] dan pendaraban skalar (dengan 1 / Δt). Hasilnya, d A / dt, dengan sendirinya adalah vektor. Perhatikan bahawa, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 1B, perbezaan antara dua vektor, dalam hal ini A (t + Δt) - A (t), mungkin berada dalam arah yang sangat berbeza daripada salah satu vektor dari mana ia terbentuk, di sini A (t + Δt) dan A (t). Akibatnya, d A / dt mungkin berada dalam arah yang berbeza daripada A (t).

Undang-undang pergerakan dan keseimbangan Newton

Dalam Principia, Newton menurunkan prinsip asas mekanik kepada tiga undang-undang:

1. Setiap badan terus berada dalam keadaan rehat atau gerakan seragam dalam garis lurus, kecuali jika dipaksa untuk mengubah keadaan itu oleh kekuatan yang terkena padanya.

2. Perubahan gerakan objek berkadaran dengan daya yang terkesan dan dibuat mengikut arah garis lurus di mana daya terkesan.

3. Pada setiap tindakan selalu ada reaksi yang sama; atau, tindakan saling dua badan antara satu sama lain selalu sama dan ditujukan kepada bahagian yang bertentangan.

Undang-undang pertama Newton adalah penyataan semula prinsip inersia, yang diusulkan sebelumnya oleh Galileo dan disempurnakan oleh Descartes.

Undang-undang kedua adalah yang paling penting dari ketiga; mungkin difahami hampir untuk merangkum semua mekanik klasik. Newton menggunakan kata "gerakan" untuk maksud apa yang disebut momentum hari ini - yaitu, produk jisim dan halaju, atau p = m v, di mana p adalah momentum, m jisim, dan v kecepatan badan. Hukum kedua kemudian dapat ditulis dalam bentuk persamaan F = d p / dt, di mana F adalah kekuatan, turunan waktu menyatakan "perubahan gerakan" Newton dan bentuk vektor persamaan tersebut memastikan bahawa perubahan tersebut berada dalam arah yang sama dengan kekuatan, seperti yang dikehendaki oleh undang-undang kedua.

Untuk badan yang jisimnya tidak berubah, di mana a ialah pecutan. Oleh itu, undang-undang kedua Newton dapat dimasukkan dalam bentuk berikut:

Mungkin adil untuk mengatakan bahawa persamaan (2) adalah persamaan yang paling terkenal dalam semua fizik.

Undang-undang ketiga Newton memastikan bahawa apabila dua badan berinteraksi, tanpa mengira sifat interaksi, mereka tidak menghasilkan daya jaring yang bertindak pada sistem dua badan secara keseluruhan. Sebagai gantinya, terdapat sepasang aksi dan tindak balas kekuatan yang sama dan berlawanan, masing-masing bertindak pada badan yang berbeza (daya tindak dan daya tidak pernah bertindak pada badan yang sama). Undang-undang ketiga berlaku sama ada badan-badan yang dimaksudkan dalam keadaan istirahat, dalam gerakan seragam, atau dalam gerakan dipercepat.

Sekiranya badan mempunyai daya jaring yang bertindak di atasnya, ia mengalami gerakan dipercepat sesuai dengan hukum kedua. Sekiranya tidak ada daya jaring yang bertindak pada tubuh, sama ada kerana tidak ada daya sama sekali atau kerana semua daya diimbangi dengan daya yang bertentangan, badan tidak akan memecut dan boleh dikatakan berada dalam keseimbangan. Sebaliknya, badan yang diperhatikan tidak dipercepat dapat disimpulkan tidak memiliki kekuatan bersih yang bertindak di atasnya.

Pertimbangkan, sebagai contoh, objek besar yang terletak di atas meja. Objek tersebut diketahui bertindak oleh daya graviti Bumi; sekiranya meja dikeluarkan, objek akan jatuh. Oleh itu, dari fakta bahawa objek itu tidak jatuh bahawa meja memberikan daya menaik pada objek, sama dan bertentangan dengan daya graviti ke bawah. Kekuatan ke atas ini bukanlah alat penyimpanan buku fizik semata-mata tetapi kekuatan fizikal yang nyata. Permukaan meja sedikit cacat oleh berat objek, menyebabkan permukaan melakukan daya yang serupa dengan yang diberikan oleh pegas bergelung.

Adalah berguna untuk mengingat perbezaan berikut: objek besar memberikan daya ke bawah di atas meja yang sama dan bertentangan dengan daya ke atas yang diberikan oleh meja (kerana ubah bentuknya) pada objek. Kedua kekuatan ini adalah pasangan tindakan dan reaksi yang beroperasi pada badan yang berlainan (satu di atas meja, yang lain di objek) seperti yang dikehendaki oleh undang-undang ketiga Newton. Sebaliknya, daya menaik yang diberikan ke atas objek oleh meja diimbangi oleh daya ke bawah yang diberikan pada objek oleh graviti Bumi. Kedua kekuatan yang sama dan berlawanan, yang bertindak pada badan yang sama, tidak berkaitan dengan atau oleh undang-undang ketiga Newton, tetapi mereka menghasilkan keadaan keseimbangan badan yang tidak bergerak.